Terme und Gleichungen - Aufgabe 12:
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Bitte schreibt eure Lösungsansätze ins Forum!
Benutzt unbedingt POSTREPLEY!!!
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ZUSAMMENFASSUNG:
Ich denke die kann ich auch ruhig vorrechnen! Diese Aufgabe online zu besprechen ist sehr schwer, da man sie schon aufzeichnen müsste, wenn man sie bespricht!
Es geht um diese Abbildung! Genau genommen um die Anzahl der Platten um die Pyramide! Das sind also die kleine Dreiecke!
Die Zahl n gibt die ANZAHL DER AUSSEN LIEGENDEN KANTEN an!!!
Hier ist die Anzahl gleich "6"!
Um nun einen term austellen zu können mussen wir die Platten ein wenig sortieren! Da die Pyramide drei Seiten hat macht es Sinn, drei "Gruppen" zu bilden, die sich NICHT überschneiden!!!
Eine solche Sortierung in drei Gruppen seht ihr im nächsten Bild!
Ich hoffe man kann deutlich erkennen, dass die gefärbten Flächen alle gleich groß sind und gleich viele Platten enthalten. (Mathematisch gesprochen sagt man: die Flächen sind kongruent = deckungsgleich)
Wenn wir also einen Term finden, der für eine der drei flächen gilt, brauchen wir diese nur verdreifachen und haben einen Term für die ganze Fläche!!!
Aus DIESEM Grunde habe ich eine der Flächen mal weiter unterteilt!
Die lilaPunkte zeigen die ANZAHL DER AUSSEN LIEGENDEN KANTEN!
Nun fasse ich zwei Dreiecke immer zu einer Raute zusammen. Diese sind durch die dunkelblauen Punkte und die hellblauen Punkte gekennzeichnet!
OK! Was haben wir nun
Es gibt 4 Vollständige Rauten!
Die vorletzte Raute (von oben gesehen) ist unvollständig (also nur ein Dreieck).
Das letzte Dreieck hat kein "Partnerdreieck" und gehört auch schon zu einem anderen Abschnitt!
So Formel (den Term) leite ich nun her, indem ich das konkrete Zahlenbeipiel bertrachte (dunkelrot) und die allegemein Formel (blau) parallel entwickle
Also bei 6 [=n] außen liegenden Dreiecken finden wir 4=6-2 [=n-2] Rauten.
Jede Raute hat 2 Dreiecke, also sind das 4*2 [=(n-2)*2] Dreiecke!
Jetzt fehlt nur noch das einzelne Dreieck! Also 4*2+1 [=(n-2)*2+1]
Jetzt haben wir einen Term für das gefärbete Gebiet!
Nun müssen wir das nur noch verdreifachen, um alles zu berücksichtigen!!!
Das ergibt dann 3*(4*2+1) [=3*[(n-2)*2+1]] Dreiecke!
SO!! Jetzt haben wir zumindest schon einmal einen korrekten Term!
Um den jetzt mit den anderen zu vergleichen, müssen wir alle (auch unseren) vereinfachen und vergleichen ... PUHHH!
Aber was nützts! Legen wir los!!!
3*[(n-2)*2+1]
=3*[(2n-4)+1]
=3*[2n-4+1]
=3*[2n-3]
=6n-9
Jetzt vereinfachen wir die vorgegebenen Terme!
3*(2n-3)=6n-9
3*(2n-3) - 3*2 = (6n-9)-6 = 6n-9-6 = 6n-15
4*(n+2) -4*2 = (4n+8) -8 = 4n+8-8 = 4n
3*(n-1) + 3n = (3n-3) + 3n = 3n - 3 + 3n = 3n + 3n - 3 = 6n - 3
3*n + (2n-1)*3 = 3n + (6n - 3) = 3n + 6n - 3 = 9n - 3
3*2(n-1) -3*1 = 6(n-1) -3 = (6n-6) -3 = 6n - 6 -3 = 6n - 9
Zu a)
Mit welchen der angegebenen Terme kann man die Anzahl der Platten zum Bau des Weges bestimmen?
Wie oben gesehen, sind 3*(2n-3) und 3*2(n-1) -3*1 Terme, welche die Anzahl der Platten um die Pyramide richtig berechnen.
Begründe mit einer Skizze, welche die Termzusammensetzung jeweils erklärt.
Ich werde hier nur für die Terme mit Skizze begründen, die auch die Anzahl der Platten tatsächlich richtig berechnet!
Zum Term 3*(2n-3): Das "3*" lassen wir weg, weil wir die Platten in drei Abschnitte unterteilen können. Ein Abschnitt wird also durch (2n-3) beschrieben.
2*n berechnet die 6 eingefärbten Rauten. Nun gehören die drei Platten mit rotem Punkt nicht zum Abschnitt und sie werden mit -3 abgezogen.
Zum Term 3*2(n-1)-3*1: Das "3*" lassen wir wieder weg, weil wir die Platten in drei Abschnitte unterteilen können. Ein Abschnitt wird also durch 2(n-1)-1 beschrieben.
2(n-1) berechnet die 5 (=6-1) eingefärbten Rauten. Nun gehört die Platte mit dem roten Punkt nicht zum Abschnitt und sie wird mit -1 abgezogen.
Zu b)
Bestätige die Äquivalenz der in a) ausgewählten Terme rechnerisch.
Das haben wir schon, weil wir oben alle Terme umgeformt haben!!!
3*(2n-3)=6n-9
3*2(n-1) -3*1 = 6(n-1) -3 = (6n-6) -3 = 6n - 6 -3 = 6n - 9
Zu c)
Die Grundseite der Pyramide beträgt 50m. Wie viele Platten werden für den Weg benötigt, wenn die Kantenlänge der Dreiecksplatten 2m beträgt?
Wenn wir uns die Skizze genau ansehen, stellen wir schnell fest, dass die Anzahl der innen liegenden Platten immer um 3 kleiner ist!
Wenn wir also die Anzahl der innen liegenden platten kenne, müssen wir nur die Anzahl um drei erhöhen, um die Anzahl der außen liegenden Platten zu erhalten!
Liegen an einer 50m langen Strecke Platten mit einer Kantenlänge von 2m.
50m/2m=25
Innen liegen also 25 Platten. Somit liegen an den Außenkanten 25+3 also 28 Platten!
Wenn wir nun die ANZAHL DER AUSSEN LIEGENDEN KANTEN - also n - kennen, brauchen wir nur 28 in einen der (richtigen) Terme einsetzen.
Also:
3*2(n-1) -3*1 = 6n - 9
[einsetzen]
6*28-9
=168-9
=159
Es werden 159 Platten benötigt!